Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups (Graduate Texts in Mathematics) の感想

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本書の大きなテーマは, 二つある.

まず, 第１, 2章では, 多様体とベクトル場の基本を述べる. 特に, 第2章では, 積分多様体に関するフロベニウスの定理が証明され, 更にそれは differential ideal の概念と関連付けられ, 大域的な考察が成されている. その上で,

一つ目のテーマとしては, リー群に関するものを述べている. 「リー群の閉部分群は, 再びリー部分群になる.」及び, 「リー群の閉部分群による商には、多様体構造が付く.」 と言う二つの定理が, 第3章で述べられる. ちなみに, リー群の閉部分群による商に関しては, Bourbaki 「Elements de mathematique」の多様体の巻では更に一般化され, 一般の可微分多様体上の同値関係による商構造がどのように与えられるかと言う定理が述べられており, 主バンドルの理論への応用がある.

二つ目は、de Rham の定理である.

第 4, 5章において, 「de Rham cohomology と singular cohomology の graded algebra としての標準的な同型」が定義され, それが実際に同型であることが証明される. graded algebra としての同型定理ではなく, graded group としての同型定理は, 「シンガー＆ソープ：トポロジーと幾何学入門」と言う本にも書いてあるが, シンガーとソープの本での証明は, 多様体の三角形分割の定理を暗に必要としている.

しかし, この Warner の本での証明は, 層の理論を用いることにより, 三角形分割定理を使用することなく, graded algebra としての同型定理の証明を, 綺麗に述べている.

最後に, 第6章では, 「コンパクトで向き付け可能なリーマン多様体の de Rham コホモロジー群の元は, ただ一つの調和形式で代表される」 という, Hodge の定理が証明されている.